Fiche de révision · Terminale · Maths
Fiche de révision : loi de Bernoulli, arbre et loi binomiale
De l'épreuve de Bernoulli à la loi binomiale : comment lire un arbre, justifier une loi binomiale au bac, appliquer la formule et calculer « au moins un » sans erreur.
Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Probabilités » de la bibliothèque Bûche Study. Elle résume l'essentiel : le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur.
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Épreuves indépendantes et arbre pondéré
Le principe
- Des épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas les autres (lancers successifs, tirages avec remise).
- La probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses étapes.
- Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
Exemple et piège
- Un dé puis une pièce : P(« 6 puis Pile ») = 1/6 × 1/2 = 1/12.
- Sans remise dans une petite urne, la composition change : les branches du 2ᵉ niveau sont des probabilités conditionnelles, les épreuves ne sont pas indépendantes.
Épreuve et loi de Bernoulli
Définition
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p).
- X vaut 1 en cas de succès, 0 sinon : X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
- Exemples : obtenir 6 avec un dé (p = 1/6), tirer une pièce défectueuse (p = 0,05).
Espérance et variance
- E(X) = p
- V(X) = p(1 − p)
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
- Schéma de Bernoulli : n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
- X = nombre de succès suit la loi binomiale B(n ; p), de valeurs 0, 1, …, n.
- P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, où C(n, k) (« k parmi n ») compte les chemins à k succès.
Justifier au bac (4 points)
- Une épreuve à deux issues : succès « … » de probabilité p = …
- Répétée n fois de façon identique et indépendante.
- X compte le nombre de succès.
- Donc X suit B(n ; p).
Calculer avec la loi binomiale
À la calculatrice
- « binomFdp » donne P(X = k), « binomFRép » donne P(X ≤ k).
- P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
- P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1)
- Au moins un succès : P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Espérance, variance
- E(X) = np : le nombre moyen de succès.
- V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √(np(1 − p)).
- Exemple : QCM de 10 questions à 4 choix au hasard, X suit B(10 ; 0,25), E(X) = 2,5 et P(X ≥ 1) = 1 − 0,75¹⁰ ≈ 0,944.
Erreurs fréquentes
- Oublier le coefficient C(n, k) : p²(1 − p)ⁿ⁻² est la probabilité d'un seul chemin.
- P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2), et non 1 − P(X ≤ 3).
- Problème de seuil : en divisant par ln q avec 0 < q < 1, le sens de l'inégalité change.
Questions fréquentes
Quelle différence entre loi de Bernoulli et loi binomiale ?
La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve à deux issues (1 pour succès, 0 pour échec). La loi binomiale compte le nombre de succès quand on répète n fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.
Comment calculer P(X ≥ 1) ?
On passe par l'événement contraire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Peut-on utiliser la loi binomiale pour des tirages sans remise ?
Non, sauf si la population est très grande : on assimile alors le tirage à un tirage avec remise. Dans une petite urne, les épreuves ne sont pas indépendantes.
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