Fiche de révision : le logarithme népérien

La définition

• Pour tout réel a > 0, ln a est l'unique réel x tel que eˣ = a.
• ln est définie sur ]0 ; +∞[ : ln 0 et ln(−3) n'existent pas.
• y = eˣ ⟺ x = ln y : ln est la fonction réciproque de exp.

À connaître par cœur

• ln(eˣ) = x pour tout réel x, et e^{ln x} = x pour x > 0.
• ln 1 = 0 et ln e = 1.
• ln 2 ≈ 0,693 ; ln 10 ≈ 2,303 ; e ≈ 2,718.
• Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Pour a > 0, b > 0 et n entier

• ln(ab) = ln a + ln b (relation fonctionnelle)
• ln(1/a) = −ln a
• ln(a/b) = ln a − ln b
• ln(aⁿ) = n ln a
• ln √a = ½ ln a

Exemples

• ln 8 − ln 2 = ln 4 = 2 ln 2
• ln 50 = ln 2 + 2 ln 5
• ln(e³) − ln √e = 3 − ½ = 5/2

Piège : il n'y a aucune formule pour ln(a + b). Et (ln a)² n'est pas ln(a²) = 2 ln a.

La méthode

1. Ensemble de validité : tout ce qui est dans un ln doit être strictement positif.
2. Se ramener à ln A = ln B (ou ln A < ln B), ou à e^A = k.
3. Utiliser : ln A = ln B ⟺ A = B et ln A < ln B ⟺ A < B.
4. Ne garder que les solutions de l'ensemble de validité.

Exemples types

• e^2x = 5 ⟺ 2x = ln 5 ⟺ x = ln 5 / 2 ≈ 0,80.
• ln x + ln(x − 1) = ln 6 : validité x > 1, puis x² − x − 6 = 0, solutions 3 et −2. On ne garde que 3.
• Plus petit entier n tel que 1,02ⁿ ≥ 2 : n ≥ ln 2 / ln 1,02 ≈ 35,003, donc n = 36.
• Si 0 < a < 1, ln a < 0 : en divisant par ln a, le sens de l'inégalité change.

Dérivée et variations

• ln'(x) = 1/x pour x > 0 : ln est strictement croissante.
• ln est concave (ln''(x) = −1/x² < 0).
• Tangente en 1 : y = x − 1, et ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0.
• ln x < 0 sur ]0 ; 1[ et ln x > 0 sur ]1 ; +∞[.

Limites

• lim ln x = +∞ quand x → +∞ (mais très lentement).
• lim ln x = −∞ quand x → 0⁺ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
• lim ln(1 + x) / x = 1 quand x → 0.

Croissances comparées (n ≥ 1)

• ln x / xⁿ → 0 quand x → +∞
• xⁿ ln x → 0 quand x → 0⁺
• À retenir : les puissances de x l'emportent sur ln.
• Attention : ln x / x en 0⁺ n'est pas une forme indéterminée, la limite est −∞.

Dériver ln(u)

• Si u est dérivable et strictement positive : (ln u)' = u' / u.
• ln(u) a les mêmes variations que u.
• Exemple : (ln(3x + 2))' = 3 / (3x + 2), sans oublier le 3.