Fiche de révision : primitives et formulaire

Primitive

• F est une primitive de f sur un intervalle I si F'(x) = f(x) pour tout x de I.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
• Pour vérifier une primitive : on dérive F et on retrouve f.

Toutes les primitives

• Si F est une primitive de f, les primitives de f sont les F + C (C constante réelle).
• Avec une condition F(x₀) = y₀, il y a une seule primitive.
• Exemple : primitive de e^−x + 2x telle que F(0) = 3 : F(x) = −e^−x + x² + C, F(0) = −1 + C = 3, donc C = 4.

La méthode

1. Repérer la fonction « intérieure » u (dans l'exponentielle, sous la racine, au dénominateur…).
2. Calculer u' et le comparer au facteur présent.
3. Ajuster avec une constante (jamais avec un x).
4. Appliquer le tableau, puis vérifier en dérivant.

Exemples

• x e^x² = ½ × 2x e^x² : primitive ½ e^x².
• 3x/(x² + 4) = (3/2) × 2x/(x² + 4) : primitive (3/2) ln(x² + 4).
• e^3x : primitive (1/3) e^3x ; cos(2x) : primitive ½ sin(2x).

y' = ay

• Solutions : y = C e^ax, C réel.
• Une condition y(x₀) = y₀ donne une seule solution.
• Exemple : N' = −λN, N(0) = N₀ donne N(t) = N₀ e^−λt ; demi-vie t = ln 2 / λ.

y' = ay + b (a ≠ 0)

• Solution constante : −b/a (l'équilibre).
• Solutions : y = C e^ax − b/a.
• Si a < 0, toutes les solutions tendent vers −b/a.
• Café : θ' = −0,1θ + 2, θ(0) = 80 donne θ(t) = 60 e^−0,1t + 20.

y' = ay + f

• Si g₀ est une solution particulière, les solutions sont g₀ + C e^ax.
• Au bac : vérifier g₀, montrer que g − g₀ est solution de y' = ay, conclure, puis trouver C.