Fiche de révision · Première · Maths
Fiche de révision : cosinus et sinus
Du triangle rectangle du collège au cercle trigonométrique de première : les définitions, le tableau des valeurs remarquables, les angles associés et les erreurs classiques.
Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Trigonométrie » de la bibliothèque Bûche Study. Elle résume l'essentiel : le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur.
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Le radian
Définition
- Un angle mesure 1 radian s'il intercepte un arc de longueur égale au rayon.
- 360° = 2π rad et 180° = π rad.
- Degrés → radians : × π/180 ; radians → degrés : × 180/π.
Longueur d'arc
- Sur un cercle de rayon r, un angle de α radians intercepte un arc de longueur ℓ = r × α.
- Exemple : 60° sur un cercle de rayon 2 donne ℓ = 2 × π/3 (et non 2 × 60).
Le cercle trigonométrique
Définition
- Cercle de centre O, de rayon 1, parcouru dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), à partir de I(1 ; 0).
- À chaque réel x correspond un point M(x).
- x et x + 2kπ (k entier) ont le même point image.
Cosinus et sinus
- cos x = abscisse de M(x) ; sin x = ordonnée de M(x).
- −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1.
- cos² x + sin² x = 1.
- cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- Pour un angle aigu, on retrouve les formules du triangle rectangle du collège.
Les valeurs remarquables
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
Les angles associés
| Réel | Symétrie | Cosinus | Sinus |
|---|---|---|---|
| −x | axe des abscisses | cos x | −sin x |
| π − x | axe des ordonnées | −cos x | sin x |
| π + x | centre O | −cos x | −sin x |
| π/2 − x | droite y = x | sin x | cos x |
| π/2 + x | quart de tour | −sin x | cos x |
Inutile d'apprendre le tableau par cœur : dessine le cercle, place M(x) et le point associé, puis lis les coordonnées. Exemple : cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −√3/2.
Méthodes et pièges
Résoudre cos x = a ou sin x = b
- Trouver une solution x₀ dans le tableau des valeurs remarquables.
- Pour cos x = cos x₀, l'autre point est M(−x₀) ; pour sin x = sin x₀, c'est M(π − x₀).
- Donner les solutions dans l'intervalle demandé.
Erreurs fréquentes
- Oublier de passer en radians.
- Oublier le signe avec cos² x + sin² x = 1 : c'est la position du point qui le donne.
- Croire que cos(π − x) = cos x : c'est −cos x.
- Ne donner qu'une solution à cos x = a (avec −1 < a < 1) : il y en a deux par tour.
- Écrire cos(2x) = 2 cos x : c'est faux.
Questions fréquentes
Le cosinus, c'est l'abscisse ou l'ordonnée ?
L'abscisse. Le point M(x) du cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos x ; sin x). Astuce : cos 0 = 1, et le point de départ I(1 ; 0) est sur l'axe horizontal.
Comment convertir des degrés en radians ?
On multiplie par π/180. Par exemple 60° = 60 × π/180 = π/3 rad. Dans l'autre sens, on multiplie par 180/π.
Est-ce que cos x + sin x = 1 ?
Non, c'est la somme des carrés qui vaut 1 : cos² x + sin² x = 1. Par exemple cos(π/4) + sin(π/4) = √2.
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