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Fiche de révision prépa MP, PC, PSI, PT : séries entières
Le rayon de convergence et comment le calculer, ce qu'on peut faire avec la somme (dériver, intégrer), les développements à connaître et les méthodes pour développer une fonction. Pour la deuxième année de prépa scientifique.
Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Séries entières (prépa, deuxième année) » de la bibliothèque Bûche Study. Elle résume l'essentiel : le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur.
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Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Séries entières (prépa, deuxième année) » de la bibliothèque Bûche Study. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur. Le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli.
Rayon de convergence
Définition
- Lemme d'Abel : si (aₙz₀ⁿ) est bornée, Σ aₙzⁿ converge absolument pour |z| < |z₀|.
- R = sup{r ≥ 0 : (aₙrⁿ) bornée}.
- |z| < R : convergence absolue ; |z| > R : divergence grossière ; |z| = R : on ne sait pas.
- Σ n!zⁿ : R = 0 ; Σ zⁿ : R = 1 ; Σ zⁿ/n! : R = +∞.
Calculer R
- D'Alembert : |aₙ₊₁/aₙ| → ℓ ⇒ R = 1/ℓ.
- Comparaison : aₙ = O(bₙ) ⇒ Ra ≥ Rb ; aₙ ~ bₙ ⇒ même rayon.
- Σ aₙxⁿ, Σ naₙxⁿ et Σ aₙxⁿ⁺¹/(n+1) ont le même rayon.
- Lacunaire : d'Alembert sur |aₙx²ⁿ|. Ex. Σ x²ⁿ/4ⁿ : x²/4 < 1 ⟺ |x| < 2.
Opérations et régularité
Opérations
- Somme : R ≥ min(Ra, Rb), égalité si Ra ≠ Rb.
- Produit de Cauchy : cₙ = Σk≤n akbn−k, R ≥ min(Ra, Rb).
- Ex. (Σ xⁿ)² = Σ (n+1)xⁿ = 1/(1 − x)².
La somme S
- Continue sur le disque ouvert, C∞ sur ]−R, R[.
- Dérivation et intégration terme à terme, même rayon.
- Coefficients uniques : aₙ = S⁽ⁿ⁾(0)/n!.
- Abel radial : si la série converge en R, S(x) → Σ aₙRⁿ quand x → R⁻ (d'où Σ (−1)ⁿ⁻¹/n = ln 2).
Développements usuels
| Fonction | Développement en 0 | Rayon |
|---|---|---|
| eˣ | Σ xⁿ/n! | +∞ |
| cos x, sin x | Σ (−1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, Σ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! | +∞ |
| ch x, sh x | Σ x²ⁿ/(2n)!, Σ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! | +∞ |
| 1/(1 − x) | Σ xⁿ | 1 |
| ln(1 + x) | Σn≥1 (−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n | 1 |
| −ln(1 − x) | Σn≥1 xⁿ/n | 1 |
| arctan x | Σ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) | 1 |
| (1 + x)α | 1 + Σ α(α−1)…(α−n+1)xⁿ/n! | 1 si α ∉ ℕ |
Sommes classiques
- Σn≥1 nxⁿ = x/(1 − x)² ⇒ Σ n/2ⁿ = 2.
- Σn≥1 n²xⁿ = x(1 + x)/(1 − x)³ ⇒ Σ n²/2ⁿ = 6.
- Σ (−1)ⁿ/(2n+1) = π/4 (Leibniz).
Pourquoi R = 1 pour 1/(1 + x²) ?
- Le rayon est la distance de 0 à la singularité complexe la plus proche : ici ±i.
- Série génératrice : le rayon est l'inverse du taux de croissance (Fibonacci : R = 1/φ).
Développer une fonction
Méthode 1 : opérations
- Combinaisons, produit de Cauchy, substitution (x → x², −x, 2x), dérivation, intégration, éléments simples.
- Ex. 1/((1 − x)(1 − 2x)) = Σ (2ⁿ⁺¹ − 1)xⁿ pour |x| < 1/2.
Méthode 2 : équation différentielle
- Trouver une équation vérifiée par f, chercher y = Σ aₙxⁿ, identifier → récurrence.
- Ex. y′ + 2xy = 0, y(0) = 1 : (n+1)aₙ₊₁ = −2aₙ₋₁ ⇒ y = e−x².
- Conclure par unicité (Cauchy) et donner le rayon.
Les erreurs à éviter
Sur le rayon
- D'Alembert sur les aₙ d'une série lacunaire.
- Conclure sur le bord |z| = R sans l'étudier.
- Rayon d'un produit : ≥ min, pas égal.
Sur les développements
- Utiliser Σ xⁿ = 1/(1 − x) hors de |x| < 1.
- Oublier le décalage d'indice : S′ = Σn≥1 naₙxⁿ⁻¹.
- Signe : ln(1 − x) = −Σ xⁿ/n.
Questions fréquentes
Comment calculer un rayon de convergence ?
Le plus souvent par la règle de d'Alembert : si |aₙ₊₁/aₙ| tend vers ℓ, alors R = 1/ℓ. On peut aussi comparer à une série connue (aₙ ~ bₙ ⇒ même rayon). Pour une série lacunaire comme Σ aₙx²ⁿ, on applique d'Alembert à |aₙx²ⁿ| directement.
Une série entière converge-t-elle sur le bord du disque ?
Le rayon ne dit rien sur le cercle |z| = R : Σ xⁿ/n diverge en 1 et converge en −1, Σ xⁿ/n² converge aux deux bornes. Il faut étudier chaque point du bord séparément.
Toute fonction C∞ est-elle développable en série entière ?
Non. f(x) = exp(−1/x²) prolongée par 0 est C∞, avec toutes ses dérivées nulles en 0 : sa série de Taylor est nulle, alors que f ne l'est pas.
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