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Fiche de révision prépa MPSI, PCSI, PTSI : forces centrales et lois de Kepler
Pourquoi une force centrale donne un mouvement plan et la loi des aires, comment l'énergie potentielle effective classe les trajectoires, puis la gravitation : orbites, trois lois de Kepler et satellites. Pour la première année de prépa scientifique.
Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Forces centrales et lois de Kepler (prépa, première année) » de la bibliothèque Bûche Study. Elle résume l'essentiel : le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur.
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Fiche écrite par IA à partir du chapitre « Forces centrales et lois de Kepler (prépa, première année) » de la bibliothèque Bûche Study. Vérifie toujours avec ton cours et ton professeur. Le cours complet, les QCM et les cartes mémoire sont dans l'appli.
Force centrale et moment cinétique
Définitions
- Force centrale : F = F·ur, toujours colinéaire à OM ; conservative si F(r) = −dEp/dr.
- Gravitation : F = −GMm/r², Ep = −GMm/r (attractive). Coulomb : en 1/r², attractive ou répulsive.
- Référentiel galiléen où O est fixe (héliocentrique, géocentrique).
Conséquences
- Moment de la force nul ⇒ LO constant.
- ⇒ mouvement plan (perpendiculaire à LO).
- Constante des aires C = r²θ̇ = LO/m.
- Loi des aires : dA/dt = C/2 constante. Plus vite près du centre : rpvp = rava.
Énergie potentielle effective
Problème radial
- Em = ½mṙ² + Ep,eff(r), avec Ep,eff = mC²/(2r²) + Ep(r).
- Le terme mC²/(2r²) est une barrière centrifuge.
- Mouvement possible seulement si Ep,eff(r) ≤ Em ; aux bornes, ṙ = 0.
États liés et de diffusion
- Gravitation : minimum de Ep,eff en r₀ = C²/(GM) → orbite circulaire.
- Em < 0 : état lié (ellipse) ; Em = 0 : parabole ; Em > 0 : hyperbole.
- Interaction répulsive : diffusion seulement (Rutherford).
Orbites et lois de Kepler
Orbite circulaire
- Mouvement uniforme.
- v = √(GM/R) ; T = 2π√(R³/GM).
- Ec = GMm/(2R), Em = −GMm/(2R) = −Ec = Ep/2.
- v et T ne dépendent pas de la masse du satellite ; plus haut = plus lent.
Les trois lois
- 1 : orbites elliptiques, astre central à un foyer.
- 2 : aires égales en durées égales.
- 3 : T²/a³ = 4π²/(GM), même valeur autour d'un même astre.
- Ellipse : rmin = a(1 − e), rmax = a(1 + e) ; Em = −GMm/(2a) (admis), v² = GM(2/r − 1/a).
Satellites terrestres
Vitesses cosmiques
- v₁ = √(GMT/RT) ≈ 7,9 km/s (orbite rasante).
- v₂ = √2·v₁ ≈ 11,2 km/s (libération, Em = 0).
- ISS (h ≈ 400 km) : v ≈ 7,7 km/s, T ≈ 92 min.
Géostationnaire
- Orbite circulaire équatoriale, période = jour sidéral (86 164 s).
- r ≈ 42 200 km, altitude ≈ 35 800 km, v ≈ 3,1 km/s.
- Satellite freiné : il descend et accélère (Ec = −Em augmente).
Les erreurs à éviter
Sur le raisonnement
- La planéité vient du moment cinétique, pas du caractère conservatif.
- Sur une ellipse, c'est la vitesse aréolaire qui est constante, pas la vitesse.
- Un état lié a Em < 0 (origine de Ep à l'infini).
Sur les calculs
- r = RT + h : ne pas confondre rayon et altitude.
- T²/a³ ne fait intervenir que la masse de l'astre central.
- Géostationnaire : jour sidéral (23 h 56 min), pas 24 h.
Questions fréquentes
Pourquoi le mouvement dans un champ de force centrale est-il plan ?
Parce que le moment cinétique en O est conservé : le moment de la force est nul (OM et F colinéaires). OM et v restent perpendiculaires au vecteur fixe L, donc le point reste dans un plan passant par O.
Que dit la troisième loi de Kepler ?
T²/a³ est le même pour tous les corps qui tournent autour d'un même astre, et vaut 4π²/(GM), où M est la masse de l'astre central. La masse du satellite n'intervient pas.
Que vaut la vitesse de libération sur Terre ?
Environ 11,2 km/s : v₂ = √(2GM/R) = √2 × v₁, où v₁ ≈ 7,9 km/s est la vitesse en orbite circulaire rasante. Elle ne dépend pas de la direction du lancement.
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