Fiche de révision du brevet de maths

Priorités de calcul

On calcule dans cet ordre : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions (de gauche à droite), puis additions et soustractions.

5 + 3 × 2² = 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17

Nombres relatifs

• Soustraire, c'est ajouter l'opposé : 3 − (−5) = 3 + 5 = 8.
• Produit ou quotient : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −.
• Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.

Fractions

• Additionner : même dénominateur d'abord. 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
• Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. 2/3 × 5/7 = 10/21
• Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
• Simplifier : diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Racine carrée

• √a est le nombre positif dont le carré vaut a (a ≥ 0). √49 = 7
• (√a)² = a et √(a × b) = √a × √b
• Carrés à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

Arithmétique

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…). 1 n'est pas premier.
• Décomposer en facteurs premiers : 360 = 2³ × 3² × 5
• Divisible par 2 : dernier chiffre pair. Par 3 : somme des chiffres divisible par 3. Par 5 : finit par 0 ou 5. Par 9 : somme des chiffres divisible par 9.
• Fraction irréductible : on ne peut plus la simplifier (le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1).

Factoriser

C'est l'inverse : on repère un facteur commun ou une identité remarquable.

6x + 9 = 3(2x + 3) · x² − 25 = (x + 5)(x − 5)

Pour vérifier, redéveloppe : tu dois retrouver l'expression de départ.

Équations

• On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) les deux membres par le même nombre.
• 3x − 4 = 11 → 3x = 15 → x = 5
• Produit nul : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0. (x − 2)(x + 7) = 0 → x = 2 ou x = −7
• x² = a : deux solutions √a et −√a si a > 0, une seule (0) si a = 0, aucune si a < 0.
• Toujours vérifier en remplaçant x par la solution.

Proportionnalité

• Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité).
• Produit en croix : si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
• Graphiquement : une droite qui passe par l'origine.
• Ratio : partager 60 € selon le ratio 2 : 3, c'est faire 5 parts de 12 € → 24 € et 36 €.

Pourcentages

• Prendre t % de x : x × t/100.
• Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100. +20 % → × 1,2
• Diminuer de t % : multiplier par 1 − t/100. −15 % → × 0,85
• Deux hausses de 10 % ne font pas +20 % : 1,1 × 1,1 = 1,21, soit +21 %.

Vocabulaire

• f(x) se lit « f de x ». Si f(3) = 7, alors 7 est l'image de 3 et 3 est un antécédent de 7.
• Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents.
• Lire une image sur un graphique : on part de l'axe des abscisses (horizontal). Un antécédent : on part de l'axe des ordonnées (vertical).

Fonction linéaire : f(x) = ax

• Elle traduit une situation de proportionnalité.
• Sa représentation est une droite qui passe par l'origine.
• a = f(x) ÷ x (pour x non nul).

Fonction affine : f(x) = ax + b

• Sa représentation est une droite. a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine (la droite coupe l'axe vertical en b).
• a > 0 : la droite monte. a < 0 : elle descend. a = 0 : elle est horizontale.
• a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁)

Statistiques

• Moyenne : somme des valeurs ÷ effectif total. Moyenne pondérée : chaque valeur × son effectif, puis ÷ effectif total.
• Médiane : la valeur qui partage la série rangée dans l'ordre en deux moitiés de même effectif.
• Étendue : plus grande valeur − plus petite valeur.
• Fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total.

Probabilités

• Une probabilité est comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
• Si toutes les issues ont la même chance : P = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles.
• Événement contraire : P(non A) = 1 − P(A).
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
• Deux épreuves à la suite : on fait un arbre et on multiplie les probabilités le long d'une branche.

Transformations

• Symétrie axiale (par rapport à une droite), symétrie centrale (par rapport à un point), translation (glissement), rotation (centre et angle) : elles conservent les longueurs, les angles et les aires.
• Homothétie de rapport k : les longueurs sont multipliées par |k|. Si k < 0, la figure est de l'autre côté du centre.

Agrandissement et réduction

Si les longueurs sont multipliées par k : les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.

Longueurs × 2 → aires × 4 → volumes × 8

Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles : leurs côtés sont alors proportionnels.

Angles

• Somme des angles d'un triangle : 180°.
• Angles alternes-internes ou correspondants égaux ⇔ droites parallèles.
• Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.

Conversions

• Longueurs : × 10 à chaque rang (km, hm, dam, m, dm, cm, mm).
• Aires : × 100 à chaque rang (1 m² = 10 000 cm²).
• Volumes : × 1 000 à chaque rang (1 m³ = 1 000 dm³).

Scratch

• Une variable stocke une valeur qui peut changer (score, compteur).
• Répéter n fois : une boucle. Si… alors… sinon : une condition.
• Pour tracer un polygone régulier à n côtés, on tourne de 360 ÷ n degrés à chaque côté.
• Lis le programme ligne par ligne en notant les valeurs des variables dans un tableau.